【题目】如图,已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2,过点H(0,t)的直线l于圆C相交于M、N两点,且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)当t=1时,求出直线l的方程;
(3)求直线OM的斜率k的取值范围.
【答案】
(1)解:因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1),所以圆心C在直线y=1上,
设圆C与x轴的交点分别为A、B,
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2:1,得 ,
所以CA=CB=2,圆心C的坐标为(﹣2,1),
所以圆C的方程为:(x+2)2+(y﹣1)2=4
(2)解:当t=1时,由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=mx+1,
由 得: 或 ,
不妨令 ,
因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0),
所以 =( , )(0,1)= =0,
解得 ,所以所求直线l方程为 或
(3)解:设直线MO的方程为y=kx,
由题意知, ,解之得 ,
同理得, ,解之得 或k>0.由(2)知,k=0也满足题意.
所以k的取值范围是 .
【解析】(1)由题意可知圆心在直线y=1上,设出圆与x轴的交点分别为A和B,由被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2得到∠ACB的度数,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,得到半径AC和CB的长,进而得到圆心C的坐标,根据圆心坐标和圆的半径写出圆C的方程即可;(2)由t的值得到H的坐标,又直线l的斜率存在,设出直线l的方程,与圆的方程联立即可求出两交点坐标分别设为M和N,由以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O,根据直径所对的圆周角为直角,得到 与 垂直,利用两向量垂直时数量积为0,列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值,写出直线l的方程即可;(3)设出直线OM的方程,根据直线OM与圆的位置关系是相交,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线OM的距离d,让d小于圆C的半径列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的取值范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解圆的标准方程(圆的标准方程:;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(﹣ ,0),B( ,0),锐角α的终边与单位圆O交于点P.
(Ⅰ)用α的三角函数表示点P的坐标;
(Ⅱ)当 =﹣ 时,求α的值;
(Ⅲ)在x轴上是否存在定点M,使得| |= | |恒成立?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则满足f(log x)>0的x的取值范围是( )
A.(0,+∞)
B.(0, )∪(2,+∞)
C.(0, )
D.(0, )∪(1,2)
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【题目】如图,正方形ABCD边长为1,从某时刻起,将线段AB,BC,CD,DA分别绕点A,B,C,D顺时针旋转相同角度α(0<α< ),若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为 ,则α=( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
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【题目】设某等腰三角形的底角为α,顶角为β,且cosβ= . (Ⅰ)求sinα的值;
(Ⅱ)若函数f(x)=tanx在[﹣ ,α]上的值域与函数g(x)=2sin(2x﹣ )在[0,m]上的值域相同,求m的取值范围.
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【题目】某班50人的一次竞赛成绩的频数分布如下:[60,70):3人,[70,80):16人,[80,90):24人,[90,100]:7人,利用各组区间中点值,可估计本次比赛该班的平均分为( )
A.56
B.68
C.78
D.82
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【题目】已知a为实数,p:点M(1,1)在圆(x+a)2+(y﹣a)2=4的内部; q:x∈R,都有x2+ax+1≥0.
(1)若p为真命题,求a的取值范围;
(2)若q为假命题,求a的取值范围;
(3)若“p且q”为假命题,且“p或q”为真命题,求a的取值范围.
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【题目】已知集合A={x| <2x<4},B={x|0<log2x<2}.
(1)求A∩B和A∪B;
(2)记M﹣N={x|x∈M,且xN},求A﹣B与B﹣A.
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