Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=1对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，则f（2011）=

1

．

Answer 1

分析：先根据条件求出函数的周期为4，在根据周期把所求问题转化，即可得到答案．

解答：解：∵f(x+2)=

1

f(x)

，
∴f（x+4）=f（x），
所以周期T=4，f（2011）=f（3）．
令x=-1，f（1）•f（-1）=1=f²（1），
又f（x）＞0
∴f(1)=1，f(3)=

1

f(1)

=1．
∴f（2011）=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查了函数的周期性，要特别利用好题中f（x+2）•f（x）=1的关系式．