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精英家教网如图,O是坐标原点,已知三点E(0,3),F(0,1),G(0,-1),直线L:y=-1,M是直线L上的动点,H.P是坐标平面上的动点,且
FH
=
HM
PM
EG
PH
FM
=0

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点E的直线m与点P的轨迹交于相异两点A.B,设向量
FA
FB
夹角为θ,且
4
≤θ<π
,求直线m斜率的取值范围.
分析:(1)根据且
FH
=
HM
PM
EG
PH
FM
=0
,点P在直线x=a上,由抛物线定义,动点P的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,求出动点P 轨迹方程;(Ⅱ)直线与抛物线相交,联立方程,利用伟大定理,寻找向量
FA
FB
夹角为θ的余弦值,求出直线m斜率的取值范围.
解答:解:(1)设P(x,y),M(a,0),∵
PM
EG

∴PM∥y轴,
∴点P在直线x=a上.
|
FH|
= |
HM
|
PH
FM
 =0

∴PH⊥FM,点P在线段FM的垂直平分线上,由抛物线定义,动点P的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,
∴动点P 轨迹方程是x2=4y;
(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程:y=kx+3,把它代入x2=4y,得
x2-4kx-12=0,
x1+x2=4k,x1x2=-12,
y1+y2
X12+X22
4
(X1+X22-2X1X2
4
=4k2-6,y1y2
(X1X2) 2
16
=9.
设AB在x轴的射影是A1B1
FA
FB
=(x1,y1-1)•(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
|
FA
|•|
FB
|=|FA1|•|FB1|=(y1+1)•(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
∴cosθ=
FA
FB
|
FA
||
FB
|
=
1-k2
1+k2
≤cos
4
≤-
2
2
,解得|k|≥1+
2

∴k∈(-∞,-1-
2
]∪[1+
2
,+∞)
点评:考查平面向量与解析几何的结合,体现了向量的工具性,考查了抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,在求解过程中,韦达定理的应用体现了方程的思想,和整体代换的思想方法,属中档题.
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GA
GB
 ,
GC
是三个单位向量,且满足2
GA
+
AB
+
AC
=
0
,|
GA
|=|
AB
|.如图所示,△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动,O是坐标原点,则|
OA
|的最大值为
2
2

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如图,O是坐标原点,已知三点E(0,3),F(0,1),G(0,-1),直线L:y=-1,M是直线L上的动点,H.P是坐标平面上的动点,且数学公式
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点E的直线m与点P的轨迹交于相异两点A.B,设向量数学公式夹角为θ,且数学公式,求直线m斜率的取值范围.

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(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点E的直线m与点P的轨迹交于相异两点A.B,设向量夹角为θ,且,求直线m斜率的取值范围.

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