Question

设函数f（x）=x³-6x+5
（1）求函数的极值
（2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3（x2-2），令f′（x）=0，得x=-或，
当 x＜-或x＞时，f′（x）＞0，当-＜x＜时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是 （-∞，-）和（，+∞），单调递减区间是 （-，），
当 x=-时，f（x）有极大值5+4；当 x=时，f（x）有极小值5-4，
（2）由（1）可作出y=f（x）图象的大致形状，如下图所示：

由图象知：当 5-4＜a＜5+4时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，即方程f（x）=a有三个不同的根．
故实数a的取值范围为：（5-4，5+4）．
分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，根据函数单调性即可求得函数极值；
（2）关于x的方程f（x）=a有三个不同的根，即函数y=a与y=f（x）的图象有三个交点，由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，根据函数图象的变化情况，可求得实数a的值．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查方程根的存在性及个数判断，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．