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若实数x0满足f(x0)=x0,则称x=x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=x3+bx+3,其中b为常数.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若存在一个实数x0,使得x=x0既是f(x)的不动点,又是f(x)的极值点.求实数b的值.
考点:利用导数研究函数的单调性
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)利用导数研究函数的单调性,即可求出函数的单调区间;
(Ⅱ)根据函数不动点的定义及函数极值的意义,列出方程组解得即可.
解答: 解:(Ⅰ)因f(x)=x3+bx+3,故f′(x)=3x2+b. 
当b≥0时,显然f(x)在R上单增; 
当b<0时,x>
-
b
3
或x<-
-
b
3
. 
所以,当b≥0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当b<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-
-
b
3
),(
-
b
3
,+∞);
(Ⅱ)由条件知
3
x
2
0
+b=0
x
3
0
+bx0+3=x0
,于是2
x
3
0
+x0-3=0,
即(x0-1)(2
x
2
0
+2x0+3
)=0,解得x0=1,
从而b=-3.
点评:本题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查函数的极值的意义及不动点的定义的运用,属于中档题.
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f(a)+f(b)
a+b
>0.
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(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0;
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A、f(
1
2
)<f(4)<f(
7
2
)
B、f(
7
2
)<f(4)<f(
1
2
)
C、f(4)<f(
1
2
)<f(
7
2
)
D、f(
1
2
)<f(
7
2
)<f(4)

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