【题目】已知圆,点为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ) 是曲线上的动点,且直线经过定点,问在轴上是否存在定点,使得,若存在,请求出定点,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 存在定点.
【解析】试题分析:(1)由两圆内切,圆心距等于半径差,可知动圆圆心S到O与F的距离和为定值2,取关于轴的对称点,由中位线可知,所以点的轨迹是以, 为焦点,长轴长为4的椭圆。(2)由得,得直线得与斜率和为零.设, ,直线的方程为得,代入韦达可求。
试题解析:(Ⅰ)设的中点为,切点为,连,则,取关于轴的对称点,连,故.
所以点的轨迹是以, 为焦点,长轴长为4的椭圆.
其中, 曲线方程为.
(Ⅱ)假设存在满足题意的定点,设设直线的方程为, .由消去,得
由直线过椭圆内一点作直线故,由求根公式得:
由得,得直线得与斜率和为零.故
存在定点,当斜率不存在时定点也符合题意.
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【题目】2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输,至此柯洁与的三场比赛全部结束,柯洁三战全负,这次人机大战再次引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查,根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(1)请根据已知条件完成下面列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关?
非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平,从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛,首轮该校需派两名学生出赛,若从5名学生中随机抽取2人出赛,求2人恰好一男一女的概率.
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【题目】《周髀算经》 是我国古代的天文学和数学著作。其中一个问题的大意为:一年有二十四个节气(如图),每个节气晷长损益相同(即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同).若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:ー丈等于十尺,一尺等于十寸),则立冬节气的晷长为( )
A. 九尺五寸 B. 一丈五寸 C. 一丈一尺五寸 D. 一丈六尺五寸
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【题目】已知抛物线,且,,三点中恰有两点在抛物线上,另一点是抛物线的焦点.
(1)求证:、、三点共线;
(2)若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点,点到轴的距离为,点到轴的距离为,求的最小值.
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【题目】某校在高二数学竞赛初赛考试后,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数段的学生人数为2.
(1)求该校成绩在分数段的学生人数;
(2)估计90分以上(含90分)的学生成绩的众数、中位数和平均数(结果保留整数).
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