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    【题目】如图，抛物线的焦点为，抛物线上两点，在抛物线的准线上的射影分别为.

    （1）如图，若点在线段上，过作的平行线与抛物线准线交于，证明：是的中点；

    （2）如图，若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

    【答案】(1)见解析;(2).

    【解析】

    (1) 设直线,与抛物线方程联立可得，∴.

    于是，直线，设直线与交于点，令.

    易得

    （2）设与轴的焦点分别为，则，∵的面积是的面积的两倍，∴，所以点. 可设直线，与抛物线方程联立可得∴，从而可得

    ,即所求轨迹方程.

    （1）由题，，准线.

    设直线，，.

    联立，∴.

    于是，直线，

    设直线与交于点，令.

    得：

    .

    故直线经过的中点.

    （2）设与轴的焦点分别为，

    则，

    ∵的面积是的面积的两倍，

    ∴，所以点.

    可设直线，，中点，

    ，

    ∴.

    于是，

    ,

    即中点的轨迹方程为.

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