Question

已知函数f（x）=（a＜0）．
（I）当a=-4时，试判断函数f（x）在（-4，+∞）上的单调性；
（II）若函数f（x）在x=t处取到极小值，
（i）求实数t的取值集合T；
（ii）问是否存在整数m，使得m≤f（t）≤m+1对于任意t∈T恒成立．若存在，求出整数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）求导函数可得
当a=-4时，≥0对x∈（-4，+∞）恒成立
∴函数f（x）在（-4，+∞）上为增函数；
（II）（i）∵函数f（x）在x=t处取到极小值，
∴t²-at-a=0
∴a²+4a＞0
∵a＜0，∴a＜-4
由得t＜-1
∵函数f（x）在x=t处取到极小值
∴
∴
∵a＜-4，∴g′（a）＜0
∴g（a）在a＜-4时递减
∴t＞g（-4）=-2
∴-2＜t＜-1
∴实数t的取值集合T=（-2，-1）；
（ii）设h（t）=f（t）=×（t+1）e^t=t²e^t，
∴h′（t）=t（t+2）e^t，
∴当-2＜t＜-1时，h′（t）＜0，∴h（t）在（-2．-1）上递减
∴
∴存在m=0，使得m≤f（t）≤m+1对于任意t∈T恒成立．
分析：（I）求导函数，当a=-4时，≥0对x∈（-4，+∞）恒成立，从而可得结论；
（II）（i）根据函数f（x）在x=t处取到极小值，a＜0，可得a＜-4，由得t＜-1，根据，可得g（a）在a＜-4时递减，由此可求实数t的取值集合；
（ii）设h（t）=f（t）=×（t+1）e^t=t²e^t，可得h（t）在（-2．-1）上递减，从而可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的极值，正确求导是关键．