Question

已知函数f（x）=x+4+4 （x≥0），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为的等比数列．
（1）求证：数列{}为等差数列；　 （2）若c_n=•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x+4+4= （x≥0），
∴a_n+1=f（a_n）=，即 -=2 （n∈N*）．
∴数列{ }是以 =1为首项，公差为2的等差数列．…（4分）
（2）由（Ⅰ）得：=1+（n-1）2=2n-1，即 a_n=（2n-1）² （n∈N*）．…（5分）
b₁=1，当n≥2时，b_n-b_n-1=，∴b_n=b₁+（ b₂-b₁）+（ b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=1+++…+=，因而 b_n=，n∈N*．…（7分）
∴c_n=•b_n=（2n-1）•，∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=[1+3+5+…+（2n-1）-（+++…+）]．
令T_n=+++…+ ①，则 T_n=+++…++ ②…（9分）
①-②，得 T_n=+2（+++…+）-=+（1-）-，…（10分）
∴T_n=1-．
又 1+3+5+…+（2n-1）=n²．…（11分）
∴S_n= （n²-1+ ）．…（12分）
分析：（1）由函数f（x）的解析式及已知条件可得 -=2（n∈N*），从而得到数列{ }是以 =1为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（Ⅰ）得a_n=（2n-1）²，由条件求得 b_n=，c_n=•b_n=（2n-1）•，化简S_n为 [1+3+5+…+（2n-1）-（+++…+）]．令T_n=+++…+，用错位相减法求得T_n的值，即可求得S_n的值．
点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的通项公式以及前n项和公式，等比数列的通项公式以及前n项和公式，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．