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已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(
3
2
-x)=f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足a1=-1,an=an-1-1(n∈N+,且n≥2),则f(a5)+f(a6)=
 
考点:函数奇偶性的性质
专题:函数的性质及应用
分析:本题可以通过函数的奇偶性求出函数值f(0),再结合条件f(
3
2
-x)=f(x),推导出函数的周期为3,然后利用等差数列的通项公式求出数列的第五项和第六项,将f(a5)+f(a6)转化为)=-f(5)-f(6),再转化为求-f(2)-f(0),易得本题结论.
解答: 解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0.
∵函数f(x)满足f(
3
2
-x)=f(x),
∴f(
3
2
-x)=f(x)=-f(-x),
令-x=t,则有:
f(
3
2
+t)=-f(t),
∴f(3+t)=-f(
3
2
+t),
∴f(3+t)=f(t),
∴函数f(x)的周期为3
∵f(-2)=-3,
∴-f(2)=-3,
∴f(2)=3.
∵数列{an}满足a1=-1,an=an-1-1(n∈N+,且n≥2),
∴数列{an}是等差数列,首项为a1=-1,公差为-1,
∴an=a1+(n-1)d=-1-(n-1)=-n.
∴a5=-5,a6=-6.
∴f(a5)+f(a6)=f(-5)+f(-6)=-f(5)-f(6)=-f(2)-f(0)=-3.
故答案为:-3.
点评:本题考查了函数的奇偶性和周期性、等差数列的通项公式,本题有一定的综合性,但总体难度不大,属于基础题.
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4
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2
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