Question

数列a_n中，a₁=2，a_n+1=a_n+cⁿ（c＞0，c≠1，n∈N*，），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求a_n的通项公式．
（3）求数列na_n的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据题设递推式，分别求得a₁，a₂，a₃，根据等比中项的性质可知a₂²=a₁a₃，求得q．
（2）利用题设中的递推式，采用叠加法求得数列的通项公式．
（3）由于数列{na_n}由等比和等差数列构成，进而采用错位相减法求得数列的前n项的和．

解答：解：（1）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+c+c²
∵a₂²=a₁a₃
∴（2+c）²=2（2+c+c²）
解得c=0（舍去）或c=2
∴c=2

（2）由（1）知a_n+1-a_n=2ⁿ
∴当n≥2时
a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2++2¹+2
=

2-2n

1-2

+2=2n
当n=1时，也符合，所以a_n=2ⁿ．

（3）na_n=n•2ⁿ
∴S_n=1•2¹+2•2²++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ（1）
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹（2）
（1）-（2）：
-S_n=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹

点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．