Question

下列条件能判断△ABC一定为钝角三角形的是（　　）
①sinA+cosA=

1

5

；
②tanA+tanB+tanC＞0；
③b=3，c=3

3

，B=30°；
④

AB

•

BC

＞0．

A．①②

B．②③

C．①④

D．③④

Answer 1

分析：根据同角三角函数的平方关系算出若sinA+cosA=

1

5

，则2sinAcosA＜0，从而得出A为钝角，得到①符合题意；根据斜三角形中的恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得若tanA+tanB+tanC＞0则△ABC一定是锐角角三角形，得到②不符合题意；根据正弦定理解三角形，得③的三角形可能是直角三角形，得到③也不符合题意；根据向量数量积的定义，得若

AB

•

BC

＞0则B为钝角，得到④符合题意．由此即可得到本题答案．

解答：解：对于①，若sinA+cosA=

1

5

，则（sinA+cosA）²=

1

25

因此，2sinAcosA=（sinA+cosA）²-1=

1

25

-1＜0，
由sinA＞0，得cosA＜0，可得A为钝角，因此△ABC一定为钝角三角形；
对于②，由于A=π-（B+C），得tanA=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

化简整理，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
若tanA+tanB+tanC＞0则tanAtanBtanC＞0，
可得A、B、C均为锐角，故②的△ABC一定不是钝角三角形
对于③，b=3，c=3

3

，B=30°
根据正弦定理，得sinC=

csinB

b

=

3 3 × 1 2

3

=

3

2

，
得C=60°或120°，从而A=90°或30°
因此△ABC可能是钝角三角形，也可能是直角三角形；
对于④，由于

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos（π-B）＞0．
∴cos（π-B）＞0，得cosB＜0，B为钝角，故△ABC一定为钝角三角形
综上所述，只有①④的△ABC一定为钝角三角形
故选：C

点评：本题判断几个三角形是否一定是钝角三角形，着重考查了同角三角函数的关系、两角和的三角函数公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．