Question

【题目】已知函数f（x）=eax﹣x． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f'（x）=aeax﹣1，

∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，

∴切线l的斜率为2，

∴f'（0）=a﹣1=2，

∴a=3；

（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜ea﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；

当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得 ，

∴在 时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在 上递减；

时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在 上递增．

∴ = 是f（x）的极小值．

设 ，则 ，令g'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	﹣
g（x）	↗	极大值	↘

∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，

∴ ，

综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1

【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，有f（1）＜ea﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由单调性求出函数的极小值，再由导数求出极小值的最大值得答案．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．