Question

【题目】已知函数．

（1）判断并证明的奇偶性；

（2）用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数；

（3）若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）是奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）（﹣∞，）

【解析】

（1）利用函数奇偶性的定义即可判断与证明；

（2）按照单调性定义证明的步骤，取值－作差－变形－定号－下结论，即可证出；

（3）利用函数的奇偶性和单调性，将抽象不等式可转化为

　　，解出即可．

（1）因为定义域为，

f（﹣x）＝11﹣21

1﹣2（1）＝﹣f（x），

所以f（x）是奇函数；

（2）证明：设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）＝（1）﹣（1）

＝2，

由题设可得：330，（1+3）＞0，（1+3）＞0，

∴20，

即f（x2）﹣f（x1）＞0，故f（x）在其定义域上是增函数；

（3）不等式f（3m+1）+f（2m﹣3）＜0，f（3m+1）＜﹣f（2m﹣3）＝f（3﹣2m），

∴3m+1＜3﹣2m，解得m，即不等式的解集为（﹣∞，）．