Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线交y轴正半轴于点B，且有，当点A的纵坐标为6时，为正三角形.

（1）求C的方程；

（2）若直线，且和C有且只有一个公共点D，证明：直线AD过定点，并求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，

【解析】

（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的值；

（2）设出点的坐标，求出直线的方程，利用直线，且和有且只有一个公共点，求出点的坐标，写出直线的方程，将方程化为点斜式，可求出定点．

（1）

可得其焦点为：，

设，则FB的中点为，

，由抛物线的定义知，

解得或（舍去）

由，解得，

C的方程为：.

（2）由（1）知.设，，，，

，

则，

由得，故，

可得直线l的斜率.

设，

由题知为C在D处的切线，D点坐标满足：，，

由导数的几何意义知的斜率，

故，，（此处也可设的方程，与抛物线方程联立方程组，然后由得到D点坐标）.

，

故直线AD的方程为：.

由，得，

直线AD过定点.