当n=1,2,3,4,5,6时,比较2n和n2的大小并猜想( )
A.n≥1时,2n>n2
B.n≥3时,2n>n2
C.n≥4时,2n>n2
D.n≥5时,2n>n2
【答案】分析:此题应从特例入手,当n=1,2,3,4,5,6,…时探求2n与n2的大小关系,也可以从y=2x与y=x2的图象(x>0)的变化趋势猜测2n与n2的大小关系.
解答:解:当n=1时,21>12,即2n>n2;
当n=2时,22=22,即2n=n2;
当n=3时,23<32,即2n<n2;
当n=4时,24=42,即2n=n2;
当n=5时,25>52,即2n>n2;
当n=6时,26>62;
…
猜测当n≥5时,2n>n2;
下面我们用数学归纳法证明猜测成立,
(1)当n=5时,由以上可知猜测成立,
(2)设n=k(k≥5)时,命题成立,即2k>k2,
当n=k+1时,2k+1=2•2k>2k2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2,即n=k+1时,命题成立,
由(1)和(2)可得n≥5时,2n与n2的大小关系为:2n>n2;
故答案为:n=2或4时,2n=n2;n=3时,2n<n2;n=1及n取大于4的正整数时,都有2n>n2.
故选D.
点评:此题考查的知识点是整数问题的综合应用,解答此题的关键是从特例入手,猜测探究然后用数学归纳法证明猜测成立.