Question

（2013•虹口区一模）设点P在曲线y=x²+2上，点Q在曲线y=

x-2

上，则|PQ|的最小值等于

7 2

4

．

Answer 1

分析：曲线y=

x-2

的图象在第一象限，要使曲线y=x²+2上的点与曲线y=

x-2

上的点取得最小值，点P应在曲线y=x²+2的第一象限内的图象上，分析可知y=x²+2（x≥0）与y=

x-2

互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=

x-2

上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．

解答：解：由y=x²+2，得：x²=y-2，x=±

y-2

．
所以，y=x²+2（x≥0）与y=

x-2

互为反函数．
它们的图象关于y=x对称．
P在曲线y=x²+2上，点Q在曲线y=

x-2

上，
设P（x，x²），Q（x，

x-2

）
要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x²+2（x≥0）上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离
d=

|x- x-2 |

12+(-1)2

=

| (x-2)2 +2- x-2 |

2

=

|( x-2 - 1 2 )2+ 7 4 |

2

．
所以dmin=

7 4

2

=

7 2

8

．
则|PQ|的最小值等于2×

7 2

8

=

7 2

4

．
故答案为

7 2

4

．

点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题．