Question

【题目】已知n∈N* ， Sn=（n+1）（n+2）…（n+n）， ．
（Ⅰ）求 S1 ， S2 ， S3 ， T1 ， T2 ， T3；
（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）S1=T1=2，S2=T2=12，S3=T3=120；

（Ⅱ）猜想：Sn=Tn（n∈N*），

证明：（i）当n=1时，S1=T1；

（ii）假设当n=k（k≥1且k∈N*）时，Sk=Tk，

即（k+1）（k+2）…（k+k）=2k×1×3×…（2k﹣1），

则当n=k+1时Sk+1=（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k﹣1）（k+1+k）（k+1+k+1）

=（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2）

=

=2k+1×1×3×…（2k﹣1）（2k+1）=Tk+1．

即n=k+1时也成立，

由（i）（ii）可知n∈N*，Sn=Tn成立

【解析】（I）分别令n=1，2，3计算；（II）先验证n=1猜想成立，假设n=k猜想成立推导n=k+1猜想成立．