Question

已知f（x）=x|x-a|+2x-3
（Ⅰ）当a=4，2≤x≤5时，问x分别取何值时，函数f（x）取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在R上恒为增函数，试求a的取值范围；
（Ⅲ）已知常数a=4，数列{a_n}满足an+1=

f(an)+3

an

(n∈N+)，试探求a₁的值，使得数列{a_n}（n∈N⁺）成等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由当a=4时，确定函数f（x）=x|x-4|+2x-3，再用分类讨论去绝对值可得（1）2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）²+6（2）当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）²-4，分别用二次函数法示得最值，再从中选最大的为最大值，最小的为最小值．（Ⅱ）先转化为分段函数f(x)=

x2+(2-a)x-3，x≥a -x2+(2+a)x-3，x＜a

=

(x- a-2 2 )2- (a-2)2 4 -3，x≥a -(x- a+2 2 )2+ (a+2)2 4 -3，x＜a

，若f（x）在R上恒为增函数，则由每一段必须都为增函数求解（Ⅲ）由（I）得到an+1=

f(an)+3

an

=|an-4|+2(n∈N*)，再用分类讨论去绝对值，①当a_n＜4时，a_n+1=-a_n+6，即a_n+1+a_n=6（②当a_n≥4时a_n+1=a_n-2，即a_n+1-a_n=-2分别研究，再综合求解．

解答：解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3
（1）2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）²+6
当x=2时，f（x）_min=5；当x=3时，f（x）_max=6
（2）当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）²-4
当x=4时，f（x）_min=5；当x=5时，f（x）_max=12
综上所述，当x=2或4时，f（x）_min=5；当x=5时，f（x）_max=12

（Ⅱ）f(x)=

x2+(2-a)x-3，x≥a -x2+(2+a)x-3，x＜a

=

(x- a-2 2 )2- (a-2)2 4 -3，x≥a -(x- a+2 2 )2+ (a+2)2 4 -3，x＜a

f（x）在R上恒为增函数的充要条件是

a-2 2 ≤a a+2 2 ≥a

，解得-2≤a≤2

（Ⅲ）an+1=

f(an)+3

an

=|an-4|+2(n∈N*)，
①当a_n＜4时，a_n+1=-a_n+6，即a_n+1+a_n=6（1）
当n=1时，a₁+a₂=6；当n≥2时，a_n+a_n-1=6（2）
（1）-（2）得，n≥2时，a_n+1-a_n-1=0，即a_n+1=a_n-1
又{a_n}为等差数列，∴a_n=3（n∈N^*）此时a₁=3
②当a_n≥4时a_n+1=a_n-2，即a_n+1-a_n=-2∴d=-2
若d=-2时，则a_n+1=a_n-2（3），将（3）代入（1）得a_n-4=|a_n-4|，
∴a_n≥4对一切n∈N^*都成立
另一方面，a_n=a₁-2（n-1），a_n≥4当且仅当n≤

a1

2

-1时成立，矛盾
∴d=-2不符合题意，舍去．
综合①②知，要使数列{a_n}（n∈N⁺）成等差数列，则a₁=3

点评：本题主要考查了绝对值函数和分段函数间的转化以及数列的判断与证明，涉及到了分类讨论，二次函数求最值和数列求通项等问题．