Question

若B={x|x²-3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}且A∩B=A？请说明你的理由．

Answer 1

分析：对于不等式x²-（a+a²）x+a³＜0，用因式分解的方法来解（x-a）（x-a²）＜0好．对于条件A∩B=A，理解为A是B的子集．

解答：解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在实数a，使A∩B=A，
则A={x|（x-a）（x-a²）＜0}．
（1）若a=a²，即a=0或a=1时，
此时A={x|（x-a）²＜0}=∅，满足A∩B=A，∴a=0或a=1；
（2）若a²＞a，即a＞1或a＜0（舍）时，A={x|a＜x＜a²}，要
使A∩B=A，则

a≥1 a2≤2

?1≤a≤

2

，∴1＜a≤

2

；
（3）若a²＜a，即0＜a＜1时，A={x|a²＜x＜a}，
要使A∩B=A，则

a≤2 a2≥1

?1≤a≤2，∴a∈∅．
综上所述，当1≤a≤

2

或a=0时满足A∩B=A，
即存在实数a，使A={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}且A∩B=A成立．

点评：解含有参数的不等式（x-a）（x-a²）＜0是本题的一个难点，应采用对a进行分类讨论的方法，本题体现了分类讨论的思想方法．