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已知函数f(x)=(e-1)lnx-x+a(a>1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)记函数f(x)在区间[1,a]上的最小值为g(a).
(i)求g(a)的表达式;(ii)求满足g(a)=g(
4
a
)的实数a的取值集合.
考点:利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题:计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:(1)求出函数f(x)的导数,令导数对于0,得增区间,令导数小于0,得减区间,注意函数的定义域;
(2)(i)易知f(e)=f(1)=a-1,讨论当1<a≤e时,当a>e时,求出最小值;
(ii)易知g(a)在[1,+∞)上单调递增,则g(a)=g(
4
a
)即有a=
4
a
,即可求得a的值.
解答: 解:(1)函数f(x)的导数为f′(x)=
e-1
x
-1=
e-1-x
x
(x>0)

当0<x<e-1时,f′(x)>0,当x>e-1时,f′(x)<0,
则f(x)的单调递增区间为(0,e-1),递减区间为(e-1,+∞);
(2)易知f(e)=f(1)=a-1,
(i)①当1<a≤e时,f(x)min=f(1)=a-1,
②当a>e时,[1,a]为减区间,则f(x)min=f(a)=(e-1)lna
∴g(a)=
a-1,1<a≤e
(a-1)lna,a>e

(ii)易知g(a)在[1,+∞)上单调递增,
g(a)=g(
4
a
)?a=
4
a
(a>1)

∴a=2,
∴满足g(a)=g(
4
a
)
的实数a的取值集合为{2}.
点评:本题考查导数的运用:求单调区间、极值和最值,考查函数的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题.
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函数y=
2
sin(
π
4
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若变量x,y满足约束条件
3x-y-1≥0
3x+y-11≤0
y≥2
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2sinx-1
+ln(tanx)的定义域为
 

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已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,且椭圆Γ 的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆Γ 的标准方程;
(Ⅱ)如图,设直线m:y=2x与椭圆Γ 交于A,B两点(其中点A在第一象限),且直线m与定直线x=2交于D,过D作直线DC∥AF交x轴于点C,试判断直线AC与椭圆Γ 的公共点个数.

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与函数y=x有相同图象的一个函数是(  )
A、y=
x2
B、y=(
x
2
C、y=logaax(a>o,a≠1)
D、y=
x2
x

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以y=±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为(  )
A、
x2
2
-
y2
2
=1
B、
x2
4
-
y2
4
=1
C、
y2
4
-
x2
4
=1
D、
x2
8
-
y2
16
=1

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若双曲线
x2
2m
-
y2
m
=1
的一条准线方程是x=1,则实数m的值是
 

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