Question

4．用数学归纳法证明1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{n}-1}＜n$（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（　　）

• A． 2^k+1
• B． 2^k-1
• C． 2^k
• D． 2^k-1

Answer 1

分析 当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．

解答 解：当n=k时，左端=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
那么当n=k+1时  左端=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$，
∴左端增加的项为$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$，所以项数为：2^k．
故选：C．

点评 本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．