分析 (1)利用等比数列的前n项和公式即可证明;
(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 (1)证明:Sn=$\frac{1-{a}_{n}×\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}$=3-2an;
(2)解:${a}_{n}=(\frac{2}{3})^{n-1}$,
bn=nan=$n(\frac{2}{3})^{n-1}$.
∴数列{bn}的前n项和Tn=1+2×$\frac{2}{3}$+3×$(\frac{2}{3})^{2}$+…+$n(\frac{2}{3})^{n-1}$,
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{2}{3}+2×(\frac{2}{3})^{2}$+…+$(n-1)×(\frac{2}{3})^{n-1}$+$n×(\frac{2}{3})^{n}$,
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=1+$\frac{2}{3}$+$(\frac{2}{3})^{2}$+…+$(\frac{2}{3})^{n-1}$-$n×(\frac{2}{3})^{n}$=$\frac{1-(\frac{2}{3})^{n}}{1-\frac{2}{3}}$-$n×(\frac{2}{3})^{n}$=3-(3+n)×$(\frac{2}{3})^{n}$,
∴Tn=9-(9+3n)×$(\frac{2}{3})^{n}$.
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [-1,1] | B. | [-1,-$\frac{1}{3}$) | C. | [0,$\frac{8}{9}$] | D. | [-1,-$\frac{4}{5}$) |
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