Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1,AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2．

(1)求证：D₁E⊥A₁D；

(2)求AB的长度；

(3)若EB=时，求二面角D₁-EC-D的大小．

 

Answer 1

解法一：(1)证明：连结AD₁，由长方体的性质可知：

AE⊥平面AD₁，∴AD₁是ED₁在平面AD₁内的射影．

又∵AD=AA₁=1，  ∴AD₁⊥A₁D

∴D₁E⊥A₁D₁（三垂线定理) 

(2)设AB=x，∵四边形ADD₁A是正方形，

∴小蚂蚁从A点且沿长方体的表面爬到点C₁可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC₁|=

如图乙的最短路程为|AC₁|=

∵x＞1    ∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4

∴  ∴x=2

(3)过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连结D₁H，则∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，

∵DD₁=1  EB=  在Rt△EBC内，可得EC=2，而EC·DH=DC·AD  解得DH=1．

∴tan∠D₁HD=

解法二：(1)如图建立空间坐标系

设AE=a，

则E(1，a，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)，

∴=(1，0，1)，=(1，a，-1)

∴·=1×1+0×a+1×(-1)=0

∴D₁E⊥A₁D

（2）同解法一

（3）假设存在，平面DEC的法向量n₁=（0，0，1）

=(0，2，-1)

设平面D₁EC的法向量n₂=(x，y，z)，则

  即,解得：

∴n₂=（，1，2）（12分）

由题意得：cos＜n₁，n₂＞=

 ∴二面角D₁-EC-D的大小为．