Question

给定抛物线y²=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值．

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀）代入抛物线方程，进而表示出|PA|，分别看当0＜a＜1和a≥1时，根据函数的单调性求得d的最小值．

解答：解：设P（x₀，y₀）（x₀≥0），则y₀²=2x₀，
∴d=|PA|=

(x0-a)2+ y 2 0

=

(x0-a)2+2x0

=

[x0+(1-a)]2+2a-1

．
∵a＞0，x₀≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1-a＞0，
此时有x₀=0时，
d_min=

(1-a)2+2a-1

=a．
（2）当a≥1时，1-a≤0，
此时有x₀=a-1时，
d_min=

2a-1

．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生对抛物线与函数问题的综合理解．