Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）探究直线l与曲线C2的位置关系，并说明理由；

（2）若曲线C3的极坐标方程为，且曲线C3与曲线C1、C2分别交于M、N两点，求|OM|2|ON|2的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）相离，理由见解析；（2）

【解析】

（1）将直线和曲线都化成直角坐标方程后，用圆心到直线的距离与半径比较大小可得； （2）用曲线和的极坐标方程联立，用极径的几何意义可求解．

(1)由题意得ρ2＝2ρsinθ，

令y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0，即x2+(y﹣1)2＝1，

由直线l：ρcos(θ)＝2得ρcosθ﹣ρsinθ＝4，

所以直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0，

因为圆心(0，1)到直线l的距离为1，

所以直线l与曲线C2相离.

(2)由题意得曲线C1的普通方程为2＝1，

故其极坐标方程为ρ2sin2θ＝1，

则|OM|2，|ON|2＝4sin2α，

即|OM|2|OB|2，

因为0<α，所以0<sinα<1，

所以|OM|2|ON|2∈(0，4)，即|OM|2|ON|2的取值范围是(0，4)