Question

已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.
（1）求的单调区间；
（2）若，且在区间上的最大值为，求的值；
（3）当时，试证明：.

Answer 1

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，讨论的正负来求单调性，利用导数大于0或小于0，通过解不等式来求函数的单调性；第二问，讨论方程的根与已知区间的关系，先判断函数的单调性，再求最值，列出方程解出的值；第三问，证明“”两边的两个函数的最值，来证明大小关系.
试题解析：（1）                 1分
当时，恒成立，故的单调增区间为      3分
当时，令解得，令解得，故的单调增区间为，的单调减区间为             5分
（2）由（I）知，
①当，即时，在上单调递增，∴舍；   7分
②当，即时，在上递增，在上递减，
，令，得       9分
（Ⅲ）即要证明，                     10分
由（Ⅰ）知当时，，∴，        11分
又令，，                  12分
故在上单调递增，在上单调递减，             13分
故                         14分
即证明.