分析 (Ⅰ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可证明AG∥平面BDE;
(Ⅱ)求出平面的法向量,利用向量法即可求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.
解答 解:由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,
CE?平面BCEG,
∴EC⊥平面ABCD.…(2分)
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,
可得B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),
A(2,1,0)G(0,2,1)….(3分)
(Ⅰ)设平面BDE的法向量为$\overrightarrow m=(x,y,z)$,
∵$\overrightarrow{EB}=(0,2,-2),\overrightarrow{ED}=(2,0,-2)$,
∴$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow m=0\overrightarrow{ED}•\overrightarrow m=0$,
即$\left\{\begin{array}{l}y-z=0\\ x-z=0\end{array}\right.$,
∴x=y=z,
∴平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow m=(1,\;1\;,1)$…..(5分)
∵$\overrightarrow{AG}=(-2,\;1,\;1)$
∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow m=-2+1+1=0$,
∴$\overrightarrow{AG}⊥\overrightarrow m$,
∵AG?平面BDE,∴AG∥平面BDE.….(7分)
(Ⅱ)设平面BAG的法向量为$\overrightarrow n=({x,y,z})$,平面BDE和平面BAG所成锐二面角为θ….(8分)
因为$\overrightarrow{BA}=({2,-1,0})$,$\overrightarrow{BG}=({0,0,1})$,
由$\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}=0,\overrightarrow n•\overrightarrow{BG}=0$得$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{z=0}\end{array}}\right.$,….(10分)
∴平面BAG的一个法向量为$\overrightarrow n=({1,2,0})$,
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1+2}{{\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$.
故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$….(12分)
点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 148 | B. | 126 | C. | 102 | D. | 88 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | -$\sqrt{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 6 | B. | 7 | C. | 9 | D. | 10 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (2,4,3) | B. | (3,4,4) | C. | 9 | D. | -5 |
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