Question

8．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且$∠BCD=∠BCE=\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2
（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可证明AG∥平面BDE；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．

解答 解：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，
CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD．…（2分）
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），
A（2，1，0）G（0，2，1）…．（3分）
（Ⅰ）设平面BDE的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{EB}=（0，2，-2），\overrightarrow{ED}=（2，0，-2）$，
∴$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow m=0\overrightarrow{ED}•\overrightarrow m=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}y-z=0\\ x-z=0\end{array}\right.$，
∴x=y=z，
∴平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow m=（1，\;1\;，1）$…..（5分）
∵$\overrightarrow{AG}=（-2，\;1，\;1）$
∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow m=-2+1+1=0$，
∴$\overrightarrow{AG}⊥\overrightarrow m$，
∵AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE．…．（7分）
（Ⅱ）设平面BAG的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，平面BDE和平面BAG所成锐二面角为θ…．（8分）
因为$\overrightarrow{BA}=（{2，-1，0}）$，$\overrightarrow{BG}=（{0，0，1}）$，
由$\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}=0，\overrightarrow n•\overrightarrow{BG}=0$得$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{z=0}\end{array}}\right.$，…．（10分）
∴平面BAG的一个法向量为$\overrightarrow n=（{1，2，0}）$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1+2}{{\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…．（12分）

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．