Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值；
（4）当

AD

AB

为何值时，PB⊥AC？

Answer 1

分析：（1）连DB，设DB∩AC=O，面EAC内的直线OE与面外直线BP平行，即可证明PB∥平面EAC
（2）要证AE⊥平面PCD，可以证明面PDC⊥面PAD，再利用面面垂直的性质定理，证明AE⊥平面PCD．
（3）在PC上取点M使得PM=

1

4

PC．证出∠AME为二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中解即可．
（4）设N为AD中点，连接PN，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD=1，AB=x列方程并解即可．

解答：解：（1）证明：连DB，设DB∩AC=O，则在矩形ABCD中，O为BD中点．
连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．
又因为OE?平面EAC，PB?平面EAC，
所以，PB∥平面EAC．
（2）

矩形ABCD?CD⊥AD 面PAD∩面ABCD=AD 面ABCD⊥面PAD

?CD⊥面PAD CD?面PDC

?面PDC⊥面PAD
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，
又面PDC∩面PAD=PD，所以，AE⊥平面PCD．
（3）在PC上取点M使得PM=

1

4

PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．
所以，∠AME为二面角A-PC-D的平面角．
在Rt△AEM中，tan∠AME=

AE

ME

=

3 2

1 2 × 2 2

=

6

．
即二面角A-PC-D的正切值为

6

．
（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．
又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．
所以，NB为PB在面ABCD上的射影．
要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC
在矩形ABCD中，设AD=1，AB=x
则(

1

2

)2=(

1

3

×

1 4 +x2

)2+(

1

3

×

1+x2

)2，
解之得：x=

2

2

．
所以，当

AD

AB

=

2

时，PB⊥AC．

点评：本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．