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【题目】已知函数上是奇函数.

1)求

2)对,不等式恒成立,求实数的取值范围;

3)令,若关于的方程有唯一实数解,求实数的取值范围.

【答案】1

2

3

【解析】试题分析:(1)函数是奇函数,所以,解方程求a.2)对于任意,函数fx)恒大于0,不等式恒成立,即不等式恒成立,则。(3)先求,由g2x=mgx+1)即,所以*,,则方程(*)变为。关于的方程有唯一实数解,所以方程有且只有一个正根。方程的根分以下三种情况讨论有且只有一个根且是正根有一正根一负根有一正根一零根,求m的范围。

试题解析:(1)因为所以所以

2

所以,即

3)因为

,所以*

因为关于的方程有唯一实数解,所以方程(*)有且只有一个根,

,则方程(*)变为有且只有一个正根,

方程有且只有一个根且是正根,则

所以,当时,方程的根为满足题意;

时,方程的根为不满足题意

方程有一正根一负根,则,所以

方程有一正根一零根,则,所以,此时满足题意

综上, 的范围为

说明:本题第(1)问中,利用特殊值法求解也正确。

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