【题目】已知函数f(x)= sin2x+cos2x.
(1)当x∈[0, ]时,求f(x)的取值范围;
(2)求函数y=f(x)的单调递增区间.
【答案】
(1)解:函数f(x)= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),
∵x∈[0, ],∴ ,
当2x+ = 时,f(x)min=f(0)=2sin =1,
当2x+ = 时,f(x)max=f( )=2sin =2.
∴f(x)的取值范围[1,2].
(2)解:∵f(x)=2sin(2x+ ),
∴函数y=f(x)的单调递增区间满足条件:
﹣ ,k∈Z,
解得kπ﹣ ≤x≤ ,k∈Z,
∴函数y=f(x)的单调递增区间为[ ,k ].k∈Z.
【解析】(1)函数f(x)= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),由x∈[0, ],得 ,由此能求出f(x)的取值范围.(2)由f(x)=2sin(2x+ ),得函数y=f(x)的单调递增区间满足条件﹣ ,k∈Z,由此能求出函数y=f(x)的单调递增区间.
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【题目】已知函数, .
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)当时,讨论函数单调性;
(Ⅲ)是否存在实数,对任意的, ,且,有恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知是一幢6层的写字楼,每层高均为3m,在正前方36m处有一建筑物,从楼顶处测得建筑物的张角为.
(1)求建筑物的高度;
(2)一摄影爱好者欲在写字楼的某层拍摄建筑物.已知从摄影位置看景物所成张角最大时,拍摄效果最佳.问:该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)?
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【题目】某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,茎叶图如图:
若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
(1)将频率视为概率,估计该校900名学生中“读书迷”有多少人?
(2)从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动.
(i)共有多少种不同的抽取方法?
(ii)求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.
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【题目】下列说法中,正确的是:( )
A. 命题“若,则”的否命题为“若,则”
B. 命题“存在,使得”的否定是:“任意,都有”
C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题,那么命题一定是真命题
D. 命题“若,则”的逆命题是真命题
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【题目】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉,在我市推出的第二季名师云课中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:
点击量 | |||
节数 | 6 | 18 | 12 |
(Ⅰ)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3000的节数.
(Ⅱ)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3000,则不需要剪辑,现从(Ⅰ)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间的分布列与数学期望.
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