Question

【题目】设a∈R，函数f(x)＝x|x－a|－a.

(1) 若f(x)为奇函数，求a的值；

(2) 若对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(3) 当a＞4时，求函数y＝f(f(x)＋a)零点的个数．

Answer 1

【答案】（1）0（2）（3）见解析

【解析】

解：(1) 若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．令x＝0，得f(0)＝－f(0)，

即f(0)＝0，所以a＝0，此时f(x)＝x|x|为奇函数．

(2) 因为对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0.

当a≤0时，对任意的x∈[2，3]，f(x)＝x－a≥0恒成立，所以a≤0；

当a>0时，易得f(x)＝在上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数，

当0<a<2时，f(x)min＝f(2)＝2(2－a)－a≥0，解得a≤，所以a≤；

当2≤a≤3时，f(x)min＝f(a)＝－a≥0，解得a≤0，所以a不存在；

当a>3时，f(x)min＝min＝min≥0，解得a≥，

所以a≥.

综上，得a≤或a≥.

(3) 设y＝f(f(x)＋a)，令t＝f(x)＋a＝x，则y＝f(t)＝t－a，a>4，

第一步，令f(t)＝0t＝a，

所以，当t<a时，t2－at＋a＝0，

判别式Δ＝a(a－4)>0，

解得t1＝，t2＝；

当t≥a时，由f(t)＝0，得t(t－a)＝a，

解得t3＝；

第二步，易得0<t1<<t2<a<t3，且a<，

① 若x＝t1，其中0<t1<，

当x<a时，x2－ax＋t1＝0，记p(x)＝x2－ax＋t1，因为对称轴x＝<a，

p(a)＝t1>0，且Δ1＝a2－4t1>0，所以方程t2－at＋t1＝0有2个不同的实根；

当x≥a时，x2－ax－t1＝0，记q(x)＝x2－ax－t1，因为对称轴x＝<a，

q(a)＝－t1<0，且Δ2＝a2＋4t1>0，所以方程x2－ax－t1＝0有1个实根，

从而方程x＝t1有3个不同的实根；

② 若x＝t2，其中0<t2<，由①知，方程x＝t2有3个不同的实根；

③ 若x＝t3，

当x>a时，x2－ax－t3＝0，记r(x)＝x2－ax－t3，因为对称轴x＝<a，

r(a)＝－t3<0，且Δ3＝a2＋4t3>0，所以方程x2－ax－t3＝0有1个实根；

当x≤a时，x2－ax＋t3＝0，记s(x)＝x2－ax－t3，因为对称轴x＝<a，

s(a)＝t3>0，且Δ3＝a2－4t3，a2－4t3>0a3－4a2－16<0，

记m(a)＝a3－4a2－16，则m′(a)＝a(3a－8)>0，

故m(a)为(4，＋∞)上的增函数，且m(4)＝－16<0，m(5)＝9>0，

所以m(a)＝0有唯一解，不妨记为a0，且a0∈(4，5)．

若4<a<a0，即Δ3<0，方程x2－ax＋t3＝0有0个实根；

若a＝a0，即Δ3＝0，方程x2－ax＋t3＝0有1个实根；

若a>a0，即Δ3>0，方程x2－ax＋t3＝0有2个实根．

所以，当4<a<a0时，方程x＝t3有1个实根；

当a＝a0时，方程x＝t3有2个实根；

当a>a0时，方程x＝t3有3个实根．

综上，当4<a<a0时，函数y＝f的零点个数为7；

当a＝a0时，函数y＝f的零点个数为8；

当a>a0时，函数y＝f的零点个数为9.