已知定点F1.F2(1.0).动点P满足|$\overrightarrow{P{F} {1}}$|+|$\overrightarrow{P{F} {2}}$|=6.动点P轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程,(2)若曲线C与x轴的交点为A1.A2.点M是曲线C上异于点A1.A2的点.直线A1M与A2M的斜率分别为k1.k2.求k1k2的值,作直线l与曲线C交于A.B两点．在曲线C上是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．已知定点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点P满足|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6，动点P轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C与x轴的交点为A₁，A₂，点M是曲线C上异于点A₁，A₂的点，直线A₁M与A₂M的斜率分别为k₁，k₂，求k₁k₂的值；
（3）过点Q（2，0）作直线l与曲线C交于A，B两点．在曲线C上是否存在点N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析（1）运用椭圆的定义可得曲线C为以F₁，F₂为焦点，且2a=6，即a=3，c=1，可得b，进而得到曲线C的方程；
（2）可得A₁（-3，0），A₂（3，0），设M（m，n），代入椭圆方程，再由直线的斜率公式，化简整理即可得到所求值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+2．代入C的方程并整理得到根与系数的关系；假设存在点N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$成立?点N的坐标（x₁+x₂，y₁+y₂）满足椭圆的方程．又A、B在椭圆上，即满足椭圆的方程．可得8x₁x₂+9y₁y₂+36=0，代入解得m，即可得到点N的坐标和直线l的方程．

解答解：（1）动点P满足|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6，
而F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离为2＜6，
由椭圆的定义可得P的轨迹为以F₁，F₂为焦点，
且2a=6，即a=3，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即有曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）由题意可得A₁（-3，0），A₂（3，0），
设M（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{9}$+$\frac{{n}^{2}}{8}$=1，
又k₁=$\frac{n}{m+3}$，k₂=$\frac{n}{m-3}$，
k₁k₂=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-9}$=8（1-$\frac{{m}^{2}}{9}$）•$\frac{1}{{m}^{2}-9}$=-$\frac{8}{9}$；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+2．
代入C的方程，并整理得（8m²+9）y²+32my-40=0，显然△＞0．
由韦达定理有：y₁+y₂=-$\frac{32m}{9+8{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{40}{9+8{m}^{2}}$，①
假设存在点N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$成立，
则其充要条件为：点N的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），
点N在椭圆上，即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{9}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}$=1．
整理得（8x₁²+9y₁²）+（8x₂²+9y₂²）+16x₁x₂+18y₁y₂=72．
又A、B在椭圆上，即8x₁²+9y₁²=72，8x₂²+9y₂²=72，
故8x₁x₂+9y₁y₂+36=0，②
将x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）
=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4及①代入②，
可得（8m²+9）•（-$\frac{40}{9+8{m}^{2}}$）+16m•（-$\frac{32m}{9+8{m}^{2}}$）+68=0，
解得m²=$\frac{7}{8}$，即有y₁+y₂=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，x₁+x₂=4-$\frac{32{m}^{2}}{9+8{m}^{2}}$=$\frac{9}{4}$．
故存在点N（±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\frac{9}{4}$），使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$．
此时直线l的方程为x=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$y+2．

点评本题考查了椭圆的定义和标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算、两点间的距离公式等基本知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力．

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