Question

（2011•宝坻区一模）设函数f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，化简函数f（x）=sin（x+

π

3

），再利用正弦函数的定义域和值域及周期性求出函数f（x）的最小正周期和值域．
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

可得 sin（A+

π

3

）=

3

2

，再由△ABC的内角为A，可得A的值．再由a=

3

2

b及正弦定理可得sinB=1，故有 B=

π

2

．
再由三角形内角和定理可得C=π-A-B 的值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+cos（x+

π

6

）=sinx+

3

2

cosx-

1

2

sinx=sin（x+

π

3

），
故函数的最小正周期等于

2π

1

=2π，当x=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数有最大值为1，
当x=2kπ-

π

2

，k∈z时，函数有最小值等于-1．
故函数f（x）的值域为[1，1]．
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

可得 sin（A+

π

3

）=

3

2

．再由△ABC的内角为A，∴A+

π

3

=

2π

3

，A=

π

3

．
又a=

3

2

b，由正弦定理可得

3 2 b

sinA

=

b

sinB

，∴sinB=1，∴B=

π

2

．
再由三角形内角和定理可得C=π-A-B=

π

6

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域及周期性，化简函数f（x）=sin（x+

π

3

），是解题的关键．