若函数f(x)满足:在定义域内存在实数x,使f(x+k)=f(x)+f(k)(k为常数),则称“f(x)关于k可线性分解”
(1)函数f(x)=2x+x2是否关于1可线性分解?请说明理由;
(2)已知函数g(x)=lnx-ax+1(a>0)关于a可线性分解,求a的范围;
(3)在(2)的条件下,当a取最小整数时,求g(x)的单调区间.
【答案】
分析:(1)函数f(x)=2
x+x
2关于1可线性分解.理由如下:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=2(2
x-1+x-1),h(0)=-1,h(1)=2.
由零点存在定理可得:存在零点x
∈(0,1),使得h(x
)=0,即f(x
+1)=f(x
)+f(1).
(2)由题意,存在x
,使g(x
+a)=g(x
)+g(a),化为ln(x
+a)=lnx
+lna+1,即
,
可得
,利用x
>0及a>0,即可解得a的取值范围.
(3)由(2)可知:a=1,可得g(x)=lnx-x+1.
.分别解出g′(x)<0与g′(x)>0的x的取值范围即可得出其单调区间.
解答:解:(1)函数f(x)=2
x+x
2关于1可线性分解.理由如下:
令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=2
x+1+(x+1)
2-2
x-x
2-2-1,
化为h(x)=2(2
x-1+x-1),h(0)=-1,h(1)=2,
∴存在零点x
∈(0,1),使得h(x
)=0,即f(x
+1)=f(x
)+f(1).
(2)由题意,存在x
,使g(x
+a)=g(x
)+g(a),
即ln(x
+a)-a(x
+a)+1=
,
化为ln(x
+a)=lnx
+lna+1,即
,
∴
,解得
,
由a>0,得
.
(3)由(2)可知:a=1,可得g(x)=lnx-x+1.
.
当x∈(0,1)时,g′(x)>0,∴g(x)的单调递增区间是(0,1);
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,∴g(x)的单调递减区间是(1,+∞).
点评:正确理解“f(x)关于k可线性分解”的意义,熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法、零点存在定理、对数的运算法则等是解题的关键.