Question

【题目】已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：

①方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]＝0有且仅有3个根；

③方程f[f(x)]＝0有且仅有7个根；④方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根．

其中正确命题的序号为________.

Answer 1

【答案】①④

【解析】①设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，g(x)＝0有2个不同根；当－2<t2<－1时，g(x)＝t2有2个不同根；当1<t3<2时，g(x)＝t3有2个不同根，∴方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根，故①正确．

②设t＝f(x)，若g[f(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，f(x)＝t1有1个根；当0<t2<1时，f(x)＝t2有3个不同根，

∴方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，故②错误．

③设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，则f(t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，f(x)＝t1有3个不同根；当－2<t2<－1时，f(x)＝t2有1个根；当1<t3<2时，f(x)＝t3有1个根，∴方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根，故③错误．

④设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，g(x)＝t1有2个不同根；当0<t2<1时，g(x)＝t2有2个不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根，故④正确．

综上，命题①④正确．