Question

设x₁、x₂、y₁、y₂是实数，且满足x₁²+x₂²≤1，
证明不等式（x₁y₁+x₂y₂－1）²≥（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）.

Answer 1

证明略

分析：要证原不等式成立，也就是证（x₁y₁+x₂y₂－1）²－（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）≥0.
（1）当x₁²+x₂²=1时，原不等式成立.……………3分
（2）当x₁²+x₂²＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x₁²+x₂²－1）x－2（x₁y₁+x₂y₂－1）x+（y₁²+y₂²－1）…………………7分
其根的判别式Δ=4（x₁y₁+x₂y₂－1）²－4（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）.………9分
由题意x₁²+x₂²＜1，函数f（x）的图象开口向下.
又∵f（1）=x₁²+x₂²－2x₁y₁－2x₂y₂+y₁²+y₂²=（x₁－y₁）²+（x₂－y₂）²≥0，………11分
因此抛物线与x轴必有公共点.
∴Δ≥0.
∴4（x₁y₁+x₂y₂－1）²－4（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）≥0，…………13分
即（x₁y₁+x₂y₂－1）²≥（x₁²+x₂²－1）（y₁²+y₂²－1）.……………14分