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已知拋物线C:x2=2py(p>0)上的一点Q(m,2)到其焦点F的距离为3.
(I)求拋物线C的方程;
(II)过坐标平面上的点F′作拋物线C的两条切线l1和l2,分别交x轴于A,B两点.
(i )若点F′的坐标为(0,-1),如图,求证:△ABF′的外接圆过点F;
(ii)试探究:若改变点F'的位置,或拋物线的开口大小,(i)中的结论是否仍然成立?由此给出一个使(i)中的结论成立的命题,并加以证明.

解:(I)由抛物线的定义得2-(-)=3,解得p=2,
故抛物线的方程为:x2=4y.
(II)(i )由题得,过点F'(0,-1)且与曲线相切的直线的斜率存在,
设其方程为y=kx-1,
得x2-4kx+4=0.
令△=0得k=±1.
故所求的两条切线分别为l1:y=x-1,l2,y=-x-1.
设l1交x轴与点A,则A(1,0);l2交x轴与点B,则B(-1,0).
设△ABF'的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
则.?
故△ABF'的外接圆方程为x2+y2=1.它过点F(0,1).
(ii)命题:设F'为抛物线x2=2py外一点,若过点F'作抛物线的两条切线l1,l2分别交x轴与A,B两点,则△ABF′的外接圆过点F.
证明:设l1,l2分别切抛物线x2=2py于P1(x1,y1),P(x2,y2).
则x1≠0,x2≠0.
∵y'=,故l1,l2的方程分别为y-y1=(x-x1)和y-y2=(x-x2).
解得A(,0);B(,0).
,得F'(
AB的垂直平分线方程为x=
AF'的垂直平分线方程为y-=-(x-),
它们的交点为M().
又F(0,),故AF的中点为N(),所以=(),=(
==0.
故线段AB,AF'AF的垂直平分线交于一点M,即A,B,F'都在以M为圆心的圆上,
也就是说△ABF′的外接圆过点F.
分析:(I)先利用抛物线的定义求出p,即可求拋物线C的方程;
(II)(i )先利用直线与圆相切求出切线l1和l2的方程,进而求出A,B两点的坐标,再求出过A,B,F′的圆的方程即可证明结论.
(ii)先由(i )的提示写出命题:设F'为抛物线x2=2py外一点,若过点F'作抛物线的两条切线l1,l2分别交x轴与A,B两点,则△ABF′的外接圆过点F.再证明线段AB,AF'AF的垂直平分线交于一点M,即可证明结论.
点评:本题主要考查抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的 位置关系等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力及创新意识,考查化归与转化思想,数形结合思想以及特殊与一般思想.
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