Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l的参数方程为

x=2- 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数）．
（I）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；
（II）设曲线C经过伸缩变换

x′=x y′=2y

得到曲线C'设曲线C'上任一点为M（x，y），求

3

x+

1

2

y的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用ρ²=x²+y²，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x-1）代入下式消去参数t即可；
（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入

3

x+

1

2

y，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．

解答：解：（Ⅰ）直线l的普通方程

3

x+y-2

3

-1=0
曲线C的直角坐标方程x²+y²=4；…（4分）
（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换

x′=x y′=2y

得到曲线C'的方程为x2+

y2

4

=4，
则点M参数方程为

x=2cosθ y=4sinθ

，代入

3

x+

1

2

y得，

3

x+

1

2

y=

3

•2cosθ+

1

2

×4sinθ=2sinθ+2

3

cosθ=4sin（θ+

π

3

）∈[-4，4]
∴

3

x+

1

2

y的取值范围是[-4，4]…（10分）

点评：本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．