Question

（2013•杭州一模）设f（x）=6cos²x-

3

sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f（A）=3-2

3

，B=

π

12

，求

a2+b2+c2

ab

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和两角和差的正弦、余弦公式、三角函数的单调性和周期性即可得出；
（Ⅱ）利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f （x）=3(1+cos2x)-

3

sin2x=2

3

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+3
=2

3

cos（2x+

π

6

）+3，
当cos(2x+

π

6

)=1时，f （x）取得最大值为2

3

+3；
最小正周期T=

2π

2

=π．                      
（Ⅱ）由f （A）=3-2

3

得2

3

cos（2A+

π

6

）+3=3-2

3

，
∴cos（2A+

π

6

）=-1，
又由0＜A＜

π

2

，得

π

6

＜2A+

π

6

＜π+

π

6

，
故2A+

π

6

=π，解得A=

5π

12

．又B=

π

12

，∴C=π-

5π

12

-

π

12

=

π

2

．
由余弦定理得

a2+b2-c2

ab

=2cosC=0．

点评：熟练掌握倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的单调性、周期性和余弦定理是解题的关键．