Question

已知定义在R上函数f(x)=

b-2x

a+2x+1

是奇函数．
（1）对于任意t∈R不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．
（2）若对于任意实数，m，x，f(x)＜m2+2tm+t+

5

2

恒成立，求t的取值范围．
（3）若g（x）是定义在R上周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求g（x）=0的所有解．

Answer 1

分析：（1）由已知中定义在R上函数f(x)=

b-2x

a+2x+1

是奇函数，我们可以根据奇函数的性质，得到f（0）=0，且f（-x）+f（x）=0，求出a，b的值后，求出函数的解析式，判断出函数的单调性后，可利用单调性将不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为了一个关于t的一元二次不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件，构造关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若f(x)＜m2+2tm+t+

5

2

恒成立，根据指数函数的值域，可得

1

2

≤m2+2mt+t+

5

2

恒成立，根据一元二次不等式恒成立的条件，构造关于m的不等式，解不等式即可得到答案．
（3）若g（x）是定义在R上周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，我们可以求出在一个周期内g（x）=0的解的个数，进而根据函数的周期性得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，即f（0）=0
∴b=1，
且f（-x）+f（x）=0
∴a=2
∴f(x)=

1-2x

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

（2分）
易证f（x）在R上单调递减（3分）
由f（t²-2t）＜f（k-2t²）得t²-2t＞k-2t²即k＜3t²-2t恒成立
又3t2-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

∴k＜-

1

3

（5分）
（2）由f(x)=

1

2x+1

-

1

2

单调递减可知f(x)∈(-

1

2

，

1

2

)
又f(x)＜m2+2mt+t+

5

2

恒成立
∴只需

1

2

≤m2+2mt+t+

5

2

（7分）
即m²+2mt+t+2≥0（m∈R）恒成立
∴4t²-4（t+2）≤0
即t²-t-2≤0∴t∈[-1，2]（9分）
（3）∵g（x）为奇函数g（-1）+g（1）=0
又g（x）的周期为2∴g（-1）=g（-1+2）=g（1）
∴g（-1）=g（1）=0（10分）
当x∈（-1，1）时g(x)=f(x)-x=

1

2x+1

-

1

2

-x为单调递减
∴g（0）=0（11分）
由g（x）的周期为2，∴所有解为x=n（n∈Z）（14分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性、单调性与周期性的综合应用，（1）的关键是确定函数f（x）的解析式及单调性，（2）的关键是求出不等式左边对应函数的值域，（3）的关键是求出一个周期内g（x）=0的解的个数．