Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若

S(k+1)n

Skn

是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（理科）（1）已知Sn=(

an+1

2

)2，an＞0，求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明（1）的数列{a_n}是一个“k类和科比数列”；
（3）设正数列{c_n}是一个等比数列，首项c₁，公比Q（Q≠1），若数列{lgc_n}是一个“k类和科比数列”，探究c₁与Q的关系．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知an+1=

(an+1-1)2-(an-1)2

4

，化简整理2a_n+1+2a_n=a_n+1²-a_n²，a_n+1-a_n=2，由此能求出求数列{a_n}的通项公式；
（2）计算S_（k+1）n=（k+1）²n²；S_kn=k²n²；所以

S(k+1)n

Skn

=(

k+1

k

)2与n无关的常数，所以数列{a_n}是一个“k类和科比数列”．
（3）lgcn+1-lgcn=lg

cn+1

cn

=lgQ是一个常数，所以{lgc_n}是一个等差数列，首项lgc₁，公差lgQ．由此入手能够推导出Q=c₁²．

解答：解：（1）

Sn+1= (an+1+1)2 4 Sn= (an+1)2 4

作差得an+1=

(an+1+1)2-(an+1)2

4

（1分）
化简整理2a_n+1+2a_n=a_n+1²-a_n²，∴a_n+1-a_n=2（2分）
所以{a_n}成等差数列（1分）
a_n=2n-1（1分）
（2）计算S_（k+1）n=（k+1）²n²；S_kn=k²n²；所以

S(k+1)n

Skn

=(

k+1

k

)2与n无关的常数
所以数列{a_n}是一个“k类和科比数列”（4分）
（3）lgcn+1-lgcn=lg

cn+1

cn

=lgQ是一个常数，
所以{lgc_n}是一个等差数列，首项lgc₁，公差lgQ（1分）Sn=nlgc1+

n(n-1)

2

•lgQSkn=knlgc1+

kn(kn-1)

2

•lgQ（1分）S(k+1)n=(k+1)nlgc1+

(k+1)n((k+1)n-1)

2

•lgQ（1分）

S(k+1)n

Skn

=

(k+1)n•lgc1+ (k+1)n•((k+1)n-1) 2 •lgQ

kn•lgc1+ kn(kn-1) 2 •lgQ

=t对一切n∈N^*恒成立
化简整理[（k+1）²-k²t]•lgQ•n+[（k+1）-kt]（2lgc₁-lgQ）=0对一切n∈N^*恒成立，
所以

(k+1)2-kt2=0 2lgc1-lgQ=0

（3分）∴Q=c₁²（1分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意理解新概念，避免不必要的错误．