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12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,直线OC与平面A1BD所成的角为α,则sin α的值是(  )
A.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$B.$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$C.$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$D.1

分析 连接AC交BD于O,连接OA1,根据线面角的定义得到∠AOA1是直线OC与平面A1BD所成的角,结合三角形的边角关系进行求解即可.

解答 解:连接AC交BD于O,连接OA1
则∠AOA1是直线OC与平面A1BD所成的角,即∠AOA1=α,
设正方体的棱长为1,
则AA1=1,AC=$\sqrt{2}$,AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
OA1=$\sqrt{1+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
则sinα=$\frac{A{A}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
故选:B

点评 本题主要考查线面角的求解,根据线面角的定义作出线面角的平面角是解决本题的关键.

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