Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F₁、F₂，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上异于顶点的任一点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，下面八个命题：
①△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=b上；    
②△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=a上；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线OP上；     
④△PF₁F₂的内切圆必通过点（a，0）；
⑤|OB|=e|OA|；        
⑥|OB|=|OA|；        
⑦|OA|=e|OB|；        
⑧|OA|与|OB|关系不确定．
其中正确的命题的代号是

②，④，⑥

．

Answer 1

分析：利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|AF₁|-|AF₂|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F₁CF₂中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．

解答：解：根据题意得F₁（-c，0）、F₂（c，0），
设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A₁、B₁，与F₁F₂切于点A，
则|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，|F₂B₁|=|F₂A|，
又点P在双曲线右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁A|-|F₂A|=2a，而|F₁A|+|F₂A|=2c，
设A点坐标为（x，0），
则由|F₁A|-|F₂A|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，则△PF₁F₂的内切圆必通过点（a，0），△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=a上，
故②，④正确．
由于|OA|=a，在三角形PCF₂中，由题意得，三角形PCF₂是一个等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=

1

2

CF₁=

1

2

（PF₁-PC）=

1

2

（PF₁-PF₂）=

1

2

×2a=a．
∴|OB|=|OA|．⑥正确．
故答案为：②，④，⑥．

点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用平面几何的性质，如三角形内心的性质等．