Question

20、已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，知函数f（x）在点x=1处取得极大值，可得f′（1）=0，求导，即可求a的值；
（2）假设存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个交点，即方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，转化为对方程根的探讨，可求实数b的值．

解答：解：（1）∵f（x）在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，
∴f′（1）=0，
即f′（1）=4x³-12x²+2ax|_x=1=2a-8=0，
∴a=4；
（2）由（1）知f（x）=x⁴-4x³+4x²-1，
由f（x）=g（x）可得x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1
即x²（x²-4x+4-b）=0．
∵f（x）的图象与g（x）的图象只有两个交点，
∴方程x²-4x+4-b=0有两个非零等根或有一根为0，另一个不为0，
∴△=16-4（4-b）=0，或4-b=0，
∴b=0或b=4．

点评：考查应用导数研究函数的极值和单调性问题，有关函数图象交点个数问题，转化为方程根的个数问题，体现了转化的思想方法，特别对于高次方程根的问题，一般采取因式分解的方法，转化为一元二次方程根的探讨，属中档题．