Question

如图，设椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），短轴长为4，焦距为2，过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点．设直线AC与直线BD交于点Q₁．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段C，D中点Q的轨迹方程；
（3）求证：点Q₁的横坐标为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

2b=4 2c=2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），利用点差法能求出线段C，D中点Q的轨迹方程．
（3）设直线AC的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2)，直线BD的方程分别为：y=

y1

x1-2

(x-2)，两式联立，得x_Q=

2(x1y2+x2y1)+4(y2-y1)

x1y2-x2y1+2(y2+y1)

，由此能证明点Q₁的横坐标为定值．

解答： （1）解：∵椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），
短轴长为4，焦距为2，
∴

2b=4 2c=2

，解得b=2，c=1，a²=4+1=5，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

5

=1．…（3分）
（2）解：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
则

y12

5

+

x12

4

=1，①，

y22

5

+

x22

4

=1，②
①-②得 

(y2-y1)•(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

=-

5

4

，…（5分）
∵

y2-y1

x2-x1

=

y

x-4

，

y2+y1

x2+x1

=

y

x

，
∴

y

x-4

•

y

x

=-

5

4

，即5x²-20x+4y²=0（0≤x≤1）．
∴线段C，D中点Q的轨迹方程5x²-20x+4y²=0（0≤x≤1）．…（8分）
用代入法求解酌情给分．
（3）证明：设直线AC的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2)，
直线BD的方程分别为：y=

y1

x1-2

(x-2)，
两式联立，消去y得x_Q=

2(x1y2+x2y1)+4(y2-y1)

x1y2-x2y1+2(y2+y1)

．…（10分）
由 ①-②得
x22y12-x12y22=4（y 12-y22），
即（x₂y₁+x₁y₂）（x₂y₁-x₁y₂）=4（y₁+y₂）（y₁-y₂）．③
又P，C，D三点共线，则

y1

x1-4

=

y2

x2-4

，x₂y₁-x₁y₂=4（y₁-y₂），④
②入③得x₂y₁+x₁y₂=y₁+y₂，⑤
把③、④代入⑤整理得 xQ=

6y2-2y1

6y2-2y1

=1．（定值）．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段中点坐标的轨迹方程的求法，考查点的横坐标为定值的证明，解题时要注意点差法的合理运用．