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如图,已知四棱锥中,底面为菱形,平面分别是的中点.

(1)证明:平面
(2)取,若上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
(1)详见解析;(2)

试题分析:(1)用线面垂直证,用等腰三角形中线即为高线证,根据线面垂直得判定定理即可得证。(2)由(1)知平面,则与平面所成的角。因为为定值,所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值,过,则平面,过,连接,则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析:解:方法一:(1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形,因为的中点,
所以                                1分
,因此                       2分
因为平面平面
所以                         3分
平面平面
所以平面  .              5分
(2)上任意一点,连接由(1)知平面,则与平面所成的角                    6分
中,
所以当最短时,即当时,最大 .              7分
此时,     因此
,所以
所以               8分
因为平面平面
所以平面平面
,则平面
,连接,则为二面角的平面角,  10分
中, 
的中点,在中,
               11分
中,
即所求二面角的余弦值为。                                  13分
第二问:方法二
(2)由(1)可知两两垂直,
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。 
,则
(其中)                                6分

的法向量为

与平面所成最大角的正切值为               7分
的最大值为
的最小值为
函数对称轴
所以,计算可得                  9分
所以
设平面的一个法向量为,则
因此,取,则             11分
为平面的一个法向量.                      12分
所以
所以,所求二面角的余弦值为                               13分
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