Question

某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元）．
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．

Answer 1

分析：（ I）每年的支出构成一个等差数列，每年的收入是一个常数列，故根据f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元，可建立函数关系；
（II）求出年平均纯利润

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)，再利用基本不等式，即可求得年平均纯利润的最大值．

解答：解：（ I）依题意，根据f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元
可得f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0
解得2＜n＜18
由于n∈N₊，故从第三年开始赢利．
（II）年平均纯利润

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)
∵n+

36

n

≥12
∴40-2(n+

36

n

)≤16
∴

f(n)

n

≤ 16
当且仅当n=6时等号成立，此时年平均纯利润最大值为16万元，
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元．

点评：本题重点考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键是寻找等量关系，建立函数关系式．