精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】已知函数为自然对数的底数).

(Ⅰ)证明:当时,方程在区间上只有一个解;

(Ⅱ)设,其中.恒成立,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)

【解析】

1)设,求出,判断函数在区间上单调递增,由,利用零点存在性定理即可证出.

2)设,求出,由(1)不妨的零点为,从而可判断在区间上单调情况,进而可得出函数的最小值为,由,得,代入可得,由即可求解.

(Ⅰ)设.

,当时,

因此函数在区间上单调递增.

.

所以在区间上只有一个零点,

方程在区间上只有一个解.

(Ⅱ)设定义域为

,则

由(Ⅰ)知,在区间上单调递增,且只有一个零点,

不妨设的零点为,则

所以,在区间上的情况如下:

-

0

+

所以,函数的最小值为

,得,所以.

依题意,即,解得.所以,的取值范围为.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式,此事引起了国际数学界的轰动许多专家认为这是数论研究中的一项重大突破世界主流媒体都对这项重要成果作了报道并给予了高度评价,印度媒体甚至称赞张益唐为中国的拉马努金”.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数,使得是素数,素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其中能够组成孪生素数的概率是(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学,对其社会实践次数进行调查,结果如下:

若将社会实践次数不低于12次的学生称为社会实践标兵”.

1)将频率视为概率,估计该校1600名学生中社会实践标兵有多少人?

2)从已抽取的8社会实践标兵中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动.

(ⅰ)设A为事件"抽取的4位同学中既有男同学又有女同学,求事件A发生的概率;

(ⅱ)用X表示抽取的社会实践标兵中男生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知椭圆的长轴长是焦距的2倍,且过点

1)求椭圆C的方程;

2)设为椭圆C上的动点,F为椭圆C的右焦点,AB分别为椭圆C的左、右顶点,点满足

①证明:为定值;

②设Q是直线上的动点,直线AQBQ分别另交椭圆CMN两点,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知椭圆 的离心率为,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.

(I)求椭圆的方程;

(II)设与圆相切的直线交椭圆,两点(为坐标原点),的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知在平面直角坐标系内,曲线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为

1)把曲线和直线化为直角坐标方程;

2)过原点引一条射线分别交曲线和直线两点,射线上另有一点满足,求点的轨迹方程(写成直角坐标形式的普通方程).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数,0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为

(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程;

(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB的长度为2,求直线l的普通方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】2020年,新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心,八方驰援战疫情,众志成城克时难,社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎,重庆某医院派出3名医生,2名护士支援湖北,现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院,则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为(

A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3

查看答案和解析>>

同步练习册答案