Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别是B₁A、CC₁、BC的中点．现设A₁A=2a
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的正切值．

Answer 1

【答案】分析：建立空间直角坐标系，求出相关向量
（I）要证：DE∥平面ABC，只需证明向量DE与平面ABC的法向量数量积=0即可；
（II）要证：B₁F⊥平面AEF，只需证明 =0，=0即可；
（III）求二面角B₁-AE-F的余弦值，只需求出平面B₁AE的法向量为 ，
平面AEF的法向量为 ，利用数量积确定二面角的余弦值．
也可以用几何法证明：
（I）要证DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC内的直线DG（设G是AB的中点，连接DG，）；
（II）求证B₁F⊥平面AEF，只需证明B₁F垂直平面AEF内的两条相交直线AF、EF即可；
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B₁M，说明∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角，然后求二面角B₁-AE-F的余弦值．
解答：解：方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA₁=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I） =（-2，4，0），面ABC的法向量为 =（0，0，4），
∵，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II） ，
=0
=0（6分）
∴，∴B₁F⊥AF
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF（8分）
（III）平面AEF的法向量为 ，设平面B₁AE的法向量为 ，
∴，即 （10分）
令x=2，则Z=-2，y=1，∴
∴=
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为 （12分）
方法2：（I）方法i：设G是AB的中点，连接DG，
则DG平行且等于EC，（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线
于点P，连接BP．由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，
可证A₁E=EP，（2分）
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁F⊥AF，（6分）
设AB=AA₁=2，则
∴B₁F⊥EF，∴B₁F⊥平面AEF；（8分）
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B₁M，
∵B₁F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B₁M⊥AE，
∴∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求 ，（10分）
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，∴
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为 （12分）
点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面的垂直的判定，考查逻辑思维能力 空间想象能力，是中档题．